Die Hessesche Normalform (HNF) ist eine spezielle Form der Darstellung einer Ebene (im dreidimensionalen Raum) oder einer Geraden (in der Ebene). Sie wird verwendet, um den Abstand eines Punktes von dieser Ebene oder Geraden zu berechnen.
Definition:
Die Hessesche Normalform einer Ebene im ℝ³ ist gegeben durch:
n ⋅ x - d = 0
wobei:
Eigenschaften und Vorteile:
n ⋅ p - d, wobei p der Ortsvektor des Punktes P ist. Ist das Ergebnis positiv, liegt der Punkt "auf der gleichen Seite" der Ebene wie der Normalenvektor n, ist es negativ, liegt er auf der anderen Seite.n und d eindeutig. Das Vorzeichen von n bestimmt, welche Seite der Ebene als "positiv" betrachtet wird.Umwandlung einer allgemeinen Ebenengleichung in die Hessesche Normalform:
Eine Ebene kann allgemein durch die Gleichung ax + by + cz = e dargestellt werden. Um diese in die Hessesche Normalform zu überführen, geht man wie folgt vor:
(a, b, c) ist ein Normalenvektor der Ebene.||(a, b, c)|| = √(a² + b² + c²). Dividiere den Normalenvektor durch seine Länge, um einen Einheitsnormalenvektor n = (a/||(a, b, c)||, b/||(a, b, c)||, c/||(a, b, c)||) zu erhalten.e durch die Länge des ursprünglichen Normalenvektors: d = e / ||(a, b, c)||. Falls d negativ ist, müssen sowohl der Normalenvektor n als auch d mit -1 multipliziert werden, um sicherzustellen, dass d positiv ist.Anwendung:
Hessesche Normalform für Geraden im ℝ²:
Ähnlich wie bei Ebenen kann die Hessesche Normalform auch für Geraden in der Ebene definiert werden:
n ⋅ x - d = 0
wobei:
Die Interpretation und Verwendung ist analog zur Hesseschen Normalform der Ebene.
Ne Demek sitesindeki bilgiler kullanıcılar vasıtasıyla veya otomatik oluşturulmuştur. Buradaki bilgilerin doğru olduğu garanti edilmez. Düzeltilmesi gereken bilgi olduğunu düşünüyorsanız bizimle iletişime geçiniz. Her türlü görüş, destek ve önerileriniz için iletisim@nedemek.page